Rozwiązywanie układów równań liniowych niejednorodnych o stałych współczynnikach metodą przewidywań

Rozważmy układ równań:

\( x^ {\prime}(t)=A\cdot x(t)+f(t) \hskip 1pc {\rm dla} \hskip 1pc t\in I\subset \mathbb{R} \)

gdzie \( \hskip 0.3pc x(t)= \begin{bmatrix} x_1(t) \\ \vdots \\x_n(t) \end{bmatrix}, \hskip 1pc A=\begin{bmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn} \end{bmatrix}, \hskip 1pc f(t)= \begin{bmatrix} f_1(t) \\ \vdots \\ f_n(t) \end{bmatrix}.\hskip 0.3pc \)
Jeżeli \( \hskip 0.3pc x_c(t)\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem ogólnym układu jednorodnego:

\( x^ {\prime}(t)=A\cdot x(t) \)

i \( \hskip 0.3pc x_p(t)\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem szczególnym układu ( 1 ) to rozwiązanie ogólne układu ( 1 ) jest postaci:

\( x(t)=x_c(t)+x_p(t). \)

Uwaga 1:

Jeżeli \( \hskip 0.3pc f(t)=f_1(t)+\cdots +f_k(t)\hskip 0.3pc \) i dla każdego \( \hskip 0.3pc j=1,\ldots ,k\hskip 0.3pc \) funkcja \( \hskip 0.3pc x_{p_j}\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem szczególnym układu równań

\( x^{\prime}(t)=A\cdot x(t)+f_j(t), \)

to rozwiązaniem ogólnym układu ( 1 ) jest następująca funkcja

\( x(t)=x_c(t)+x_{p_1}(t)+\cdots +x_{p_k}(t). \)

Metoda przewidywań ma zastosowanie , jeżeli elementy macierzy \( \hskip 0.3pc f(t)\hskip 0.3pc \) są wielomianami, funkcjami wykładniczymi, funkcjami sinus lub cosinus, ewentualnie sumami lub iloczynami wymienionych funkcji.

Uwaga 2:

1. Jeżeli funkcja \( \hskip 0.3pc f(t)\hskip 0.3pc \) w równaniu ( 1 ) jest postaci:

(2)

\( f(t)=e^{\lambda t}\left( \begin{bmatrix}b_{1k} \\ \vdots \\ b_{nk} \end{bmatrix}t^k+\cdots +\begin{bmatrix}b_{11} \\ \vdots \\ b_{n1}\end{bmatrix}t+\begin{bmatrix}b_{10} \\ \vdots \\ b_{n0}\end{bmatrix}\right), \hskip 1pc {\rm gdzie} \hskip 1pc b_{ij}-{\rm są \, \, stałymi,} \)

to wtedy, gdy \( \hskip 0.3pc \lambda\hskip 0.3pc \) nie jest wartością własną macierzy \( \hskip 0.3pc A,\hskip 0.3pc \) szukamy szczególnego rozwiązania równania ( 1 ) w postaci

(3)

\( x_p(t)=e^{\lambda t}\left( \begin{bmatrix}d_{1k} \\ \vdots \\ d_{nk}\end{bmatrix}t^k+\cdots +\begin{bmatrix}d_{11} \\ \vdots \\ d_{n1}\end{bmatrix}t+\begin{bmatrix}d_{10} \\ \vdots \\ d_{n0}\end{bmatrix}\right) \)

Jeżeli natomiast \( \hskip 0.3pc \lambda\hskip 0.3pc \) jest wartością własną macierzy \( \hskip 0.3pcA\hskip 0.3pc \) o krotności \( \hskip 0.3pc m,\hskip 0.3pc \) to szukamy szczególnego rozwiązania równania ( 1 ) w postaci

(4)

\( x_p(t)=e^{\lambda t}\left( \begin{bmatrix}d_{1k+m} \\ \vdots \\ d_{nk+m}\end{bmatrix}t^{k+m}+\begin{bmatrix}d_{1k+m-1} \\ \vdots \\ d_{nk+m-1}\end{bmatrix}t^{k+m-1}+ \cdots +\begin{bmatrix}d_{11} \\ \vdots \\ d_{n1}\end{bmatrix}t+\begin{bmatrix}d_{10} \\ \vdots \\ d_{n0}\end{bmatrix}\right). \)

2. Jeżeli funkcja \( \hskip 0.3pc f(t)\hskip 0.3pc \) w równaniu ( 1 ) jest postaci:

(5)

\( \begin{aligned} f(t)= & e^{\alpha t}\left( \begin{bmatrix}b_{1k} \\ \vdots \\ b_{nk}\end{bmatrix}t^k+\cdots +\begin{bmatrix}b_{11} \\ \vdots \\ b_{n1}\end{bmatrix}t+\begin{bmatrix}b_{10} \\ \vdots \\ b_{n0}\end{bmatrix}\right)\cos(\beta t)+\\ & e^{\alpha t}\left( \begin{bmatrix}c_{1j} \\ \vdots \\ c_{nj}\end{bmatrix}t^j+\cdots +\begin{bmatrix}c_{11} \\ \vdots \\c_{n1}\end{bmatrix}t+\begin{bmatrix}c_{10} \\ \vdots \\ c_{n0}\end{bmatrix}\right)\sin(\beta t) , \end{aligned} \)

to wtedy gdy \( \hskip 0.3pc \alpha\pm \beta i\hskip 0.3pc \) nie jest wartością własną macierzy \( \hskip 0.3pcA,\hskip 0.3pc \) wówczas szukamy szczególnego rozwiązania równania ( 1 ) w postaci

(6)

\( \begin{aligned} x_p(t)= & e^{\alpha t}\left( \begin{bmatrix}c_{1N} \\ \vdots \\ c_{nN}\end{bmatrix}t^N+\cdots +\begin{bmatrix}c_{11} \\ \vdots \\ c_{n1}\end{bmatrix}t+\begin{bmatrix}c_{10} \\ \vdots \\ c_{n0}\end{bmatrix}\right)\cos(\beta t)+\\ & e^{\alpha t}\left( \begin{bmatrix}d_{1N} \\ \vdots \\ d_{nN}\end{bmatrix}t^N + \cdots +\begin{bmatrix}d_{11} \\ \vdots \\ d_{n1}\end{bmatrix}t+\begin{bmatrix}d_{10} \\ \vdots \\ d_{n0}\end{bmatrix}\right)\sin(\beta t), \end{aligned} \)

gdzie \( \hskip 0.3pc N=\max \{j, k\} \).
Jeżeli natomiast \( \hskip 0.3pc \alpha\pm \beta i\hskip 0.3pc \) jest wartością własną macierzy \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) o krotności \( \hskip 0.3pc m,\hskip 0.3pc \) to szukamy szczególnego rozwiązania równania ( 1 ) w postaci

(7)

\( \begin{aligned} x_p(t)= & e^{\alpha t}\left( \begin{bmatrix}c_{1N+m} \\ \vdots \\ c_{nN+m}\end{bmatrix}t^{N+m}+\cdots + \begin{bmatrix}c_{11} \\ \vdots \\ c_{n1}\end{bmatrix}t+\begin{bmatrix}c_{10} \\ \vdots \\ c_{n0}\end{bmatrix}\right)\cos(\beta t)+\\ & e^{\alpha t}\left( \begin{bmatrix}d_{1N+m} \\ \vdots \\ d_{nN+m}\end{bmatrix}t^{N+m}+\cdots +\begin{bmatrix}d_{11} \\ \vdots \\ d_{n1}\end{bmatrix}t+\begin{bmatrix}d_{10} \\ \vdots \\ d_{n0}\end{bmatrix}\right)\sin(\beta t) . \end{aligned} \)

Algorytm postępowania przy wyznaczaniu rozwiązania układu ( 1 ) metodą przewidywań.

1. Wyznaczamy rozwiązanie ogólne \( \hskip 0.3pc x_c(t)\hskip 0.3pc \) układu jednorodnego:

\( x^{\prime}(t)=A\cdot x(t). \)

2. Funkcje \( \hskip 0.3pc f(t)\hskip 0.3pc \) przedstawiamy jako sumę funkcji

\( f(t)=f_1(t)+ \cdots +f_k(t), \)

gdzie każda z tych funkcji jest postaci ( 2 ) lub ( 5 ).

3. Dla każdej funkcji \( \hskip 0.3pc f_i(t),\hskip 0.3pc i=1,\ldots,k \hskip 0.3pc \) wyznaczamy rozwiązanie szczególne \( \hskip 0.3pc x_{p_i}(t) \hskip 0.3pc \) układu równań

(8)

\( x^{\prime}(t)=A\cdot x(t)+f_i(t). \)

W zależności od postaci funkcji \( \hskip 0.3pc f_i(t) \hskip 0.3pc \) przewidujemy rozwiązanie szczególne \( \hskip 0.3pc x_{p_i}(t) \hskip 0.3pc \) w postaci ( 3 ), ( 4 ) i ( 6 ) lub ( 7 ). Podstawiając \( \hskip 0.3pc x_{p_i}(t) \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc x_{p_i}^\prime (t) \hskip 0.3pc \) do równania ( 8 ) otrzymamy równanie macierzowe, z kórego wyliczamy stałe \( \hskip 0.3pc d_{lj},\hskip 0.3pc c_{lj}. \)

4. Rozwiązanie ogólne układu ( 1 ) zapisujemy jako sumę wyżej wymienionych rozwiązań:

\( x(t)=x_c(t)+x_{p_1}(t)+\cdots +x_{p_k}(t). \)

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Rozwiązywanie układów równań liniowych niejednorodnych o stałych współczynnikach metodą przewidywań

Uwaga 1:

Uwaga 2: